Nombre de diviseurs et liste des diviseurs

Propriété

Soit \(n \geqslant 2\) un entier dont la décomposition en produit de facteurs premiers s'écrit  \(n=p_1^{\alpha_1}p_2^{\alpha_2}...p_k^{\alpha_k}\) .

1. Les diviseurs positifs de \(n\) sont exactement les entiers de la forme   \(p_1^{\beta_1}p_2^{\beta_2}...p_k^{\beta_k}\)
avec, pour tout \(i \in \left\lbrace 1;...;k \right\rbrace\) , \(0 \leqslant \beta_i \leqslant \alpha_i\) .

2. Le nombre de diviseurs positifs de \(n\) est égal à \((\alpha_1+1)(\alpha_2+1)...(\alpha_k+1)\) .

Démonstration

1. On procède par double implication.

On note \(m=p_1^{\beta_1}p_2^{\beta_2}...p_k^{\beta_k}\) avec, pour tout \(i \in \left\lbrace 1;...;k \right\rbrace\) , \(0 \leqslant \beta_i \leqslant \alpha_i\) .
On peut alors écrire
\(\begin{align*}n=p_1^{\beta_1}p_1^{\alpha_1-\beta_1}p_2^{\beta_2}p_2^{\alpha_2-\beta_2}...p_k^{\beta_k}p_k^{\alpha_k-\beta_k}=mq\end{align*}\)   
avec \(q=p_1^{\alpha_1-\beta_1}p_2^{\alpha_2-\beta_2}...p_k^{\alpha_k-\beta_k} \in \mathbb{N}\)  
car \(\beta_i-\alpha_i \geqslant 0\) pour tout \(i \in \left\lbrace 1;...;k \right\rbrace\) .
Ainsi, \(m\) est un diviseur de \(n\) .

Réciproquement, soit \(d \in \mathbb{N}^\ast\) un diviseur de \(n\) .

• Si \(d=1\) , alors on peut écrire \(d=p_1^0p_2^0...p_k^0\) .
  
• Si \(d \geqslant 2\) , alors \(d\) possède une décomposition en produit de facteurs premiers de la forme  \(d=q_1^{\beta_1}q_2^{\beta_2}...q_\ell^{\beta_\ell}\)  avec, pour tout \(j \in \left\lbrace 1;...;\ell \right\rbrace\) , \(\beta_j \in \mathbb{N}^\ast\) .

Soit \(j \in \left\lbrace 1;...;\ell \right\rbrace\) . Comme \(q_j\) divise \(n=p_1^{\alpha_1}p_2^{\alpha_2}...p_k^{\alpha_k}\) ,
on en déduit que \(q_j=p_i\) pour un certain  \(i \in \left\lbrace 1;...;k \right\rbrace\) .
Ainsi, chacun des \(q_j\) est égal à l'un des \(p_i\) (avec \(i \in \left\lbrace 1;...;k \right\rbrace\) ).
On en déduit que \(\ell \leqslant k\) .
Quitte à changer l'ordre des facteurs \(p_i\) , on peut supposer que \(q_1=p_1\) , \(q_2=p_2\) , ..., et \(q_\ell=p_\ell\) .
Soit \(j \in \left\lbrace 1;...;\ell \right\rbrace\) . Comme \(p_j^{\beta_j}\) divise \(n=p_j^{\alpha_j} \times r\) avec \(\mathrm{PGCD}(p_j^{\alpha_j};r)=1\) , on en déduit grâce au théorème de Gauss que \(p_j^{\beta_j}\) divise \(p_j^{\alpha_j}\) , et donc que \(\beta_j \leqslant \alpha_j\) .
On a ainsi  \(d=p_1^{\beta_1}p_2^{\beta_2}...p_\ell^{\beta_\ell}\)  avec, pour tout \(j \in \left\lbrace 1;...;\ell \right\rbrace\) , \(1 \leqslant \beta_j \leqslant \alpha_j\) .
Quitte à rajouter des exposants \(\beta_j\) nuls, on peut alors écrire
\(d=p_1^{\beta_1}p_2^{\beta_2}...p_k^{\beta_k}\)  avec, pour tout \(i \in \left\lbrace 1;...;k \right\rbrace\) , \(0 \leqslant \beta_i \leqslant \alpha_i\)  
puisque, pour tout \(i \in \left\lbrace 1;...;k \right\rbrace\) , \(\alpha_i \geqslant 1>0\) .

2. D'après le premier point, pour compter les diviseurs positifs de \(n\) , il suffit de dénombrer tous les produits de la forme  \(p_1^{\beta_1}p_2^{\beta_2}...p_k^{\beta_k}\)  avec, pour tout \(i \in \left\lbrace 1;...;k \right\rbrace\) , \(0 \leqslant \beta_i \leqslant \alpha_i\) .
Soit \(i \in \left\lbrace 1;...;k \right\rbrace\) .
Le terme \(p_i^{\beta_i}\) peut apparaître sous \(\alpha_i+1\) formes dans le produit précédent :
  \(p_i^0\)  ou  \(p_i^1\)  ou  \(p_i^2\)  ou ... ou  \(p_i^{\alpha_i}\) .
Par conséquent, \(n\) possède exactement \((\alpha_1+1)(\alpha_2+1)...(\alpha_k+1)\) diviseurs positifs.