Nombre de diviseurs et liste des diviseurs

Modifié par Clemni

Propriété

Soit n2 un entier dont la décomposition en produit de facteurs premiers s'écrit  n=p1α1p2α2...pkαk .

1. Les diviseurs positifs de n sont exactement les entiers de la forme   p1β1p2β2...pkβk
avec, pour tout i{1;...;k} , 0βiαi .

2. Le nombre de diviseurs positifs de n est égal à (α1+1)(α2+1)...(αk+1) .

Démonstration

1. On procède par double implication.

On note m=p1β1p2β2...pkβk avec, pour tout i{1;...;k} , 0βiαi .
On peut alors écrire
n=p1β1p1α1β1p2β2p2α2β2...pkβkpkαkβk=mq   
avec q=p1α1β1p2α2β2...pkαkβkN  
car βiαi0 pour tout i{1;...;k} .
Ainsi, m est un diviseur de n .

Réciproquement, soit dN un diviseur de n .

  • Si d=1 , alors on peut écrire d=p10p20...pk0 .
  • Si d2 , alors d possède une décomposition en produit de facteurs premiers de la forme  d=q1β1q2β2...qβ  avec, pour tout j{1;...;} , βjN .

Soit j{1;...;} . Comme qj divise n=p1α1p2α2...pkαk ,
on en déduit que qj=pi pour un certain  i{1;...;k} .
Ainsi, chacun des qj est égal à l'un des pi (avec i{1;...;k} ).
On en déduit que k .
Quitte à changer l'ordre des facteurs pi , on peut supposer que q1=p1 , q2=p2 , ..., et q=p .
Soit j{1;...;} . Comme pjβj divise n=pjαj×r avec PGCD(pjαj;r)=1 , on en déduit grâce au théorème de Gauss que pjβj divise pjαj , et donc que βjαj .
On a ainsi  d=p1β1p2β2...pβ  avec, pour tout j{1;...;} , 1βjαj .
Quitte à rajouter des exposants βj nuls, on peut alors écrire
d=p1β1p2β2...pkβk  avec, pour tout i{1;...;k} , 0βiαi  
puisque, pour tout i{1;...;k} , αi1>0 .

2. D'après le premier point, pour compter les diviseurs positifs de n , il suffit de dénombrer tous les produits de la forme  p1β1p2β2...pkβk  avec, pour tout i{1;...;k} , 0βiαi .
Soit i{1;...;k} .
Le terme piβi peut apparaître sous αi+1 formes dans le produit précédent :
  pi0  ou  pi1  ou  pi2  ou ... ou  piαi .
Par conséquent, n possède exactement (α1+1)(α2+1)...(αk+1) diviseurs positifs.

Source : https://lesmanuelslibres.region-academique-idf.fr
Télécharger le manuel : https://forge.apps.education.fr/drane-ile-de-france/les-manuels-libres/mathematiques-terminale-expert ou directement le fichier ZIP
Sous réserve des droits de propriété intellectuelle de tiers, les contenus de ce site sont proposés dans le cadre du droit Français sous licence CC BY-NC-SA 4.0