Nombre de diviseurs et liste des diviseurs

Propriété

Soit $n⩾2$ un entier dont la décomposition en produit de facteurs premiers s'écrit  $n=p_1^{{\alpha }_1}{p}_2^{{\alpha }_2}...p_k^{{\alpha }_k}$ .

1. Les diviseurs positifs de $n$ sont exactement les entiers de la forme   $p_1^{{\beta }_1}{p}_2^{{\beta }_2}...p_k^{{\beta }_k}$
avec, pour tout $i\in \{1;...;k\}$ , $0⩽{\beta }_i⩽{\alpha }_i$ .

2. Le nombre de diviseurs positifs de $n$ est égal à $({\alpha }_1+1)({\alpha }_2+1)...({\alpha }_k+1)$ .

Démonstration

1. On procède par double implication.

On note $m=p_1^{{\beta }_1}{p}_2^{{\beta }_2}...p_k^{{\beta }_k}$ avec, pour tout $i\in \{1;...;k\}$ , $0⩽{\beta }_i⩽{\alpha }_i$ .
On peut alors écrire
$\begin{array}{r}n=p_1^{{\beta }_1}{p}_1^{{\alpha }_1-{\beta }_1}{p}_2^{{\beta }_2}{p}_2^{{\alpha }_2-{\beta }_2}...p_k^{{\beta }_k}{p}_k^{{\alpha }_k-{\beta }_k}=mq\end{array}$   
avec $q=p_1^{{\alpha }_1-{\beta }_1}{p}_2^{{\alpha }_2-{\beta }_2}...p_k^{{\alpha }_k-{\beta }_k}\in \mathbb{N}$  
car ${\beta }_i-{\alpha }_i⩾0$ pour tout $i\in \{1;...;k\}$ .
Ainsi, $m$ est un diviseur de $n$ .

Réciproquement, soit $d\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ un diviseur de $n$ .

• Si $d=1$ , alors on peut écrire $d=p_1^0{p}_2^0...p_k^0$ .
  
• Si $d⩾2$ , alors $d$ possède une décomposition en produit de facteurs premiers de la forme  $d=q_1^{{\beta }_1}{q}_2^{{\beta }_2}...q_{\ell }^{{\beta }_{\ell }}$  avec, pour tout $j\in \{1;...;\ell \}$ , ${\beta }_j\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ .

Soit $j\in \{1;...;\ell \}$ . Comme $q_j$ divise $n=p_1^{{\alpha }_1}{p}_2^{{\alpha }_2}...p_k^{{\alpha }_k}$ ,
on en déduit que $q_j=p_i$ pour un certain  $i\in \{1;...;k\}$ .
Ainsi, chacun des $q_j$ est égal à l'un des $p_i$ (avec $i\in \{1;...;k\}$ ).
On en déduit que $\ell ⩽k$ .
Quitte à changer l'ordre des facteurs $p_i$ , on peut supposer que $q_1=p_1$ , $q_2=p_2$ , ..., et $q_{\ell }=p_{\ell }$ .
Soit $j\in \{1;...;\ell \}$ . Comme $p_j^{{\beta }_j}$ divise $n=p_j^{{\alpha }_j}\times r$ avec $\mathrm{PGCD}(p_j^{{\alpha }_j};r)=1$ , on en déduit grâce au théorème de Gauss que $p_j^{{\beta }_j}$ divise $p_j^{{\alpha }_j}$ , et donc que ${\beta }_j⩽{\alpha }_j$ .
On a ainsi  $d=p_1^{{\beta }_1}{p}_2^{{\beta }_2}...p_{\ell }^{{\beta }_{\ell }}$  avec, pour tout $j\in \{1;...;\ell \}$ , $1⩽{\beta }_j⩽{\alpha }_j$ .
Quitte à rajouter des exposants ${\beta }_j$ nuls, on peut alors écrire
$d=p_1^{{\beta }_1}{p}_2^{{\beta }_2}...p_k^{{\beta }_k}$  avec, pour tout $i\in \{1;...;k\}$ , $0⩽{\beta }_i⩽{\alpha }_i$  
puisque, pour tout $i\in \{1;...;k\}$ , ${\alpha }_i⩾1>0$ .

2. D'après le premier point, pour compter les diviseurs positifs de $n$ , il suffit de dénombrer tous les produits de la forme  $p_1^{{\beta }_1}{p}_2^{{\beta }_2}...p_k^{{\beta }_k}$  avec, pour tout $i\in \{1;...;k\}$ , $0⩽{\beta }_i⩽{\alpha }_i$ .
Soit $i\in \{1;...;k\}$ .
Le terme $p_i^{{\beta }_i}$ peut apparaître sous ${\alpha }_i+1$ formes dans le produit précédent :
  $p_i^0$  ou  $p_i^1$  ou  $p_i^2$  ou ... ou  $p_i^{{\alpha }_i}$ .
Par conséquent, $n$ possède exactement $({\alpha }_1+1)({\alpha }_2+1)...({\alpha }_k+1)$ diviseurs positifs.